证明：
要证明不等式a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)成立
即要证明不等式a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c)≥0
即2[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c)]≥0
而
2[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c)]
=(a^2b^2+c^2a^2-2a^2bc)+(a^2b^2+b^2c^2-2ab^2c)+(b^2c^2+c^2a^2-2abc^2)
=a^2(b-c)^2+b^2(a-c^2)+c^2(b-c)^2
≥0恒成立
所以不等式a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)
得证