∵三角形的三边长分别为a、a+1、a+2，
∴a+（a+1）＞a+2，解得a＞1；
∵三角形是钝角三角形，
∴a²+（a+1）²＜（a+2）²，解之得-1＜a＜3；
因此，可得1＜a＜3．
又∵最大内角不超过120°，
∴

a2+(a+1)2−(a+2)2

2a(a+1)

≥-

1

2

，解之得a≤-1或a≥

3

2

综上所述，可得实数a的取值范围为[

3

2

，3）．