一个众所周知的命题是：三角形ABC三边BC,CA,AB的中点依次为A1\B1\C1,则线段A1B1,B1C1,C1A1把三角形AB_数学解答

一个众所周知的命题是：三角形ABC三边BC,CA,AB的中点依次为A1\B1\C1,则线段A1B1,B1C1,C1A1把三角形ABC分成四个面积相等的三角形,现请你证明它的逆命题：在三角形的边BC,CA与AB上取点A1.B1.C1.A1B1,B1C1,与C1A1分三角形ABC为四个面积相等的三角形.求证：A1,B1,C1是三角形ABC各边的中点.
答对的有加分的= help~

人气：335 ℃　时间：2019-08-20 17:30:41

解答

我是死算的
证明：对三边都进行2（m+n）等分,设AC1取2m等分 C1B取2n 等分
以三角形AC1B1为例AB1与AC1上的高是成比例的,所以面积可以用AC1*AB1*常数来表示=1/4三角形的面积=（m+n）（m+n）*常数,常数是相同的可以约去,同理可知B1C*CA1=A1B*BC1= （m+n）（m+n）
由此可得
AB1=（m+n）（m+n）/2m
B1C=（m+n）（3m-n）/2m
CA1=（m+n）2m/（3m-n）
A1B=（m+n）2（2m-n）/（3m-n）
则A1B*C1B=(m+n)(m+n)
化简得到3（m-n）（m-n）=0
故m=n ,所以A1,B1,C1是三角形ABC各边的中点