如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,Rt△OAB的斜边OA在X轴的正半轴上,点A坐标A(2,0),点B在第一象限内,且OB=_数学解答

如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,Rt△OAB的斜边OA在X轴的正半轴上,点A坐标A(2,0),点B在第一象限内,且OB=√3,∠OBA=90°.以边OB所在直线折叠Rt△OAB,使点A落在点C处.
求证：△OAC为等边三角形；
点D在X轴的正半轴上,且点D的坐标为(4,0).点P为线段OC上一动点(点P不与点O重合),连接PA,PD.设PC=X,△PAD的面积为Y,求Y与X之间的函数关系式；
在（2）的条件下,当X=1/2时,过点A作AM⊥PD于点M,若K=7AM/2PD,求证：二次函数Y=-2X^2-(7K-3√3)X+√3K的图像关于Y轴对称.

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解答

(1)C关于直线OB对称,AB=BC
∵ OB⊥AB,OB=√3,OA=2 ∴ AB=1=OA/2
∴ ∠AOB=30°,∠OAB=60°,又AC=2=OA
∴ △OAC是等边三角形
∵ OD=2OA=4,A是OD的中点,AD=2
作PE⊥OA于E,则OE=OP/2=(2-X)/2
PE=OP*√3/2,DE=4-OE=4-1+X/2=3+X/2
∵ Rt△DPE∽Rt△DAM,则
AM:PE=AD:PD,AM=PE*AD/PD
Y=0.5*AM*PD=0.5*PE*AD=(2-X)√3/2=√3-X√3/2
若二次函数Y=-2X^2-(7K-3√3)X+√3K的图像关于Y轴对称,即:K=3√3/7
当X=1/2时,PC=1/2,OP=3/2,OE=3/4,PE=3√3/4,DE=4-OE=4-3/4=13/4,PD^2=PE^2+DE^2
PD^2=(169+27)/16=196/16,PD=7/2,AM=PE*AD/PD,K=7AM/2PD=7PE*AD/2PD^2=7PE/PD^2
=(7*3√3/4)*(16/196)=3√3/7,将7K=3√3代入二次函数得：Y=-2X^2+9/7,
即,Y-9/7=-2X^2,该二次函数关于X=0对称,显然也关于Y轴对称.