连接CG，BG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠DCB=∠ABE=90°，AB=DC，AD∥BC，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠AEB=45°=∠BAE，
∵AB∥DC，
∴∠F=∠BAE=45°，
∴∠F=∠CEF，
∴CE=CF，
∵BE=DC，
∴DF=BC，
∵∠ECF=90°，CE=CF，G为EF中点，
∴∠ECG=45°，CG=GE=GF，
∴∠ECG=∠F，
在△DGF和△BGC中

DF＝BC ∠F＝∠BCG GF＝CG

∴△DGF≌△BGC（SAS），
∴BG=DG，∠DGF=∠BGC，
则∠BGC-∠DGC=∠DGF-∠DGC，即∠BGD=∠CGF=90°，
∴△BGD为等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°
∴∠BDG的正切值为tan45°=1，
故答案为：1．