过抛物线y^2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,再以OA,OB为邻边作矩形AOBM
问题是求M的轨迹方程
人气:395 ℃ 时间:2019-08-22 09:49:51
解答
设M(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)OA的斜率为k(k≠0)
则OB的斜率为-1/k
OA所在的直线方程为y=kx
代入y^2=2px
得x1=2p/k^2,y1=2p/k
即A(2p/k^2,2p/k)
所以向量OA=(2p/k^2,2p/k)
OB所在直线为y=-x/k
代入y^2=2px
得x2=2pk^2,y2=-2pk
即B(2pk^2,-2pk)
所以向量OB=(2pk^2,-2pk)
因为向量OM=向量OA+向量OB=(2p/k^2+2pk^2,2p/k-2pk)
所以x=2p(1/k-k)^2+4p(1)
y=2p(1/k-k)(2)
由(2)得1/k-k=y/2p,代入(1)得
x=2p(y/2p)^2+4p
所以y^2=2p(x-4p)(p>0)
所以M的轨迹方程为y^2=2p(x-4p)(p>0)
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