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如图,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:①tan∠AEC=
BC
CD
;②S△ABC+S△CDE≥S△ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是(  )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
人气:481 ℃ 时间:2020-05-24 04:01:03
解答
∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,
∴AB=BC,CD=DE,
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°,
∴∠ACE=90°;
∵△ABC∽△CDE
AC
EC
=
AB
ED
=
BC
CD

①∴tan∠AEC=
AC
EC

∴tan∠AEC=
BC
CD
;故本选项正确;
②∵S△ABC=
1
2
a2,S△CDE=
1
2
b2,S梯形ABDE=
1
2
(a+b)2
∴S△ACE=S梯形ABDE-S△ABC-S△CDE=ab,
S△ABC+S△CDE=
1
2
(a2+b2)≥ab(a=b时取等号),
∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE;故本选项正确;
④过点M作MN垂直于BD,垂足为N.
∵点M是AE的中点,
则MN为梯形中位线,
∴N为中点,
∴△BMD为等腰三角形,
∴BM=DM;故本选项正确;
③又MN=
1
2
(AB+ED)=
1
2
(BC+CD),
∴∠BMD=90°,
即BM⊥DM;故本选项正确.
故选D.
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