不妨设a0 > 0.
我们证明x为充分大的正实数时,多项式取正值,而x为绝对值充分大的负实数时取负值.
于是存在取零的点,即实根.
实际上,当|x| > |a1/a0|+|a2/a0|+...+|an/a0|+1.
有|a0·x^n| > |a1·x^n|+|a2·x^n|+...+|an·x^n|
> |a1·x^(n-1)|+|a2·x^(n-2)|+...+|an|
≥ |a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an|.
由a0 > 0,若x > 0,则a0·x^n > 0,有a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an > 0.
由a0 > 0,n是奇数,若x < 0,则a0·x^n < 0,有a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an < 0.
而a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an关于x连续,故存在零点.
另一种方法,由代数基本定理,n次方程有n个复根.
而实系数一元多项式方程虚根成对,但n是奇数,故存在实根.