without taking a umbrella应该是方式状语
他离开屋子,这个句子已经完成,没有带伞是做状语的
如何看是不是宾语,有个简单的办法,就是把without taking a umbrella去掉,看看是不是病句,做定状补的,去掉都不是病句,所以,此处绝对不是宾语,宾语就是room