证明如下：
（Ⅰ）cos2A+2sin²[(B+C)/2]=1 → 1-2sin²A+2sin²[(B+C)/2]=1 → sinA=sin[(B+C)/2] →
A= (B+C)/2；
∴ 3A=180° → A=60°；
由余弦定理：BC²=AC²+AB²-2AC*AB*cosA=2²+1²-2*2*1*cos60°=3,∴ BC=√3；△ABC为RT△；
（Ⅱ）由题意得：d在P与C点重合时最小,为√3/2：
d在AB上时取最大值,此时有(x/sinB)+(y/sinA)=AB；
将 sinA=sin60°=√3/2、sinB=1/2 代入得：(2y/√3)+2x=2,即 y=√3-√3x
∴d= x+y+0=（1-√3）x+√3；x的取值范围为0到1,所以d最大为√3
所以d的取值范围为√3/2到√3!