在三角形ABC中,已知AC=2,AB=1,且角A、B、C满足cos2A+2sin^2(B+C/2)=1.急
在三角形ABC中,已知AC=2,AB=1,且角A、B、C满足cos2A+2sin^2(B+C/2)=1,
(I)求角A大小和BC边长
(II)若点P是线段AC上的动点,设点P到边AB、BC的距离分别是x,y,试求xy最大值,并指出P点位于何处时xy最大.
人气:281 ℃ 时间:2019-10-17 06:36:26
解答
(Ⅰ)cos2A+2sin²[(B+C)/2]=1 → 1-2sin²A+2sin²[(B+C)/2]=1 → sinA=sin[(B+C)/2] → A=(B+C)/2;
∴ 3A=180° → A=60°;
由余弦定理:BC²=AC²+AB²-2AC*AB*cosA=2²+1²-2*2*1*cos60°=3,∴ BC=√3;△ABC为RT△;
(Ⅱ)由题意得:(x/sinA)+(y/sinC)=AC;
将 sinA=sin60°=√3/2、sinC=1/2 代入得:(2x/√3)+2y=2,即 y=1-x√3/3;
∴ xy=x*[1-(x√3/3)]=x-(x²√3/3)=-√3/3[x-(√3/2)]²+(3/4);
xy 最大值:3/4(当 x=√3/2=BC/2,由RT△可得出:PA=PC,即P位于AC边的中点时);答案不是√3/4吗?cy最大值是√3/4,我那xy计算式最后一项写算的不对;具体点。。我照你这么算也是3/4还不够具体吗?已推得计算式 xy=x-x²√3/3=-√3/3[x-(√3/2)]²+(√3/4),当x≠√3/2时,xy<-0+√3/4,即当x稍微偏离数值2时,xy的值都比√3/4要小;
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