（Ⅰ）cos2A+2sin²[(B+C)/2]=1 → 1-2sin²A+2sin²[(B+C)/2]=1 → sinA=sin[(B+C)/2] → A=(B+C)/2；
∴ 3A=180° → A=60°；
由余弦定理：BC²=AC²+AB²-2AC*AB*cosA=2²+1²-2*2*1*cos60°=3,∴ BC=√3；△ABC为RT△；
（Ⅱ）由题意得：(x/sinA)+(y/sinC)=AC；
将 sinA=sin60°=√3/2、sinC=1/2 代入得：(2x/√3)+2y=2,即 y=1-x√3/3；
∴ xy=x*[1-(x√3/3)]=x-(x²√3/3)=-√3/3[x-(√3/2)]²+(3/4)；
xy 最大值：3/4（当 x=√3/2=BC/2,由RT△可得出：PA=PC,即P位于AC边的中点时）；答案不是√3/4吗？cy最大值是√3/4，我那xy计算式最后一项写算的不对；具体点。。我照你这么算也是3/4还不够具体吗？已推得计算式 xy=x-x²√3/3=-√3/3[x-(√3/2)]²+(√3/4)，当x≠√3/2时，xy<-0+√3/4，即当x稍微偏离数值2时，xy的值都比√3/4要小；