已知数列{an}满足3sn=(n+2)an其中sn为前n项的和a1=2 (1)求数列{an}的通项公式 (2)求数列{1/an}的前n项
已知数列{an}满足3sn=(n+2)an其中sn为前n项的和a1=2
(1)求数列{an}的通项公式
(2)求数列{1/an}的前n项和Tn
(3)是否存在无限集合M使得当n属于M时 总有|Tn-1|
人气:424 ℃ 时间:2019-09-29 03:15:04
解答
(1)由3sn=(n+2)an……①
所以,3s(n-1)=(n+1)a(n-1)……②
① -② 得:3an=(n+2)an-(n+1)a(n-1),即(n+1)a(n-1)=(n-1)an ,
则有 an/a(n-1)=(n+1)/(n-1)
a(n-1)/a(n-2)=n/(n-2)
…………………………
a3/a2=4/2
a2/a1=3/1
两端同时求积得:an/a1=n(n+1)/2,即an=n(n+1)
(2) 由 1/an= 1/n(n+1)=1/n - 1/(n+1)
1/a(n-1)=1/(n-1)-1/n
…………………………………………
1/a2=1/2-1/3
1/a1=1-1/2
两端同时求和得:1/an+1/a(n-1)+……+1/a2+1/a1=1-1/(n+1),即Tn=n/(n+1)
(3)|存在.Tn-1|=|n/(n+1)-1|=1/(n+1) ,则|Tn-1|<1/10成立,即n>9
所以,取M={10,11,12,13,14,…………} 即可.
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