设地球半径为R,卫星离地心距离为r,则有
卫星相对于地面的总机械能：K = G M m (1/R - 1/r) + 1/2 m v^2
其中卫星运动速度形成的离心加速度等于当地重力加速度：v^2/r = (G M)/r^2
解得：K=G m M (2 r - R)/(2 r R)
v=√(GM/r)
对于r=+∞,得K∞=G m M/R
因而如果要使一个卫星增速至u,能量达到K∞,即可以跑出地球引力范围,则有
K+(1/2mu^2-1/2mv^2)=K∞
解得：u=√(2GM/r)=√2*v
因而,稳定运动的卫星,其速度增加√2倍,就会脱离地球引力,如地球第一宇宙速度为7.9,√2v=11.2,即第二宇宙速度.
因此题目所给的,卫星速度增加一倍,即u=2v,此时卫星已经不再能稳定围绕地球旋转,求周期是没有意义的.对于补充中的,线速度变化会引起半径变化.