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数学
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求证方程ax
2
+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.
人气:196 ℃ 时间:2020-05-14 05:09:54
解答
充分性:当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为x=
−
1
2
,方程只有一个负根;
当a=1时,方程为x
2
+2x+1=0.其根为x=-1,
方程只有一个负根.
当a<0时,△=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且
1
a
<0,方程有一正一负根.
必要性:若方程ax
2
+2x+1=0有且仅有一个负根.
当a=0时,适合条件.
当a≠0时,方程ax
2
+2x+1=0有实根,
则△=4(1-a)≥0,∴a≤1,
当a=1时,方程有一个负根x=-1.
若方程有且仅有一负根,则
a<1
1
a
<0
∴a<0
综上方程ax
2
+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1
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