A、∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，正确，故本选项错误；
B、根据AB=AD，BC=CD，不能推出四边形ABCD是菱形，如图2，
错误，故本选项正确；
C、如图1，∵AC⊥BD，OD=OB，
∴AB=AD，BC=CD，
∵BD⊥AC，AO=CO，
∴AB=BC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，正确，故本选项错误；
D、如图1，∵AC平分∠BAD和∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠3+∠ABC=180°，∠2+∠4+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC，
同理可证∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，正确，故本选项错误．
故选B．