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满足1+3n≤2007,且使得1+5n是完全平方数的正整数n共有多少个?
人气:307 ℃ 时间:2019-08-18 07:44:52
解答
由条件1+3n≤2007得,n≤668,n是正整数.
设1+5n=m2(m是正整数),则n=
m2−1
5
,这是正整数.
故可设m+1=5k,或m-1=5k(k是正整数)
①当m+1=5k时,
m2−1
5
=5k2−2k≤5k2≤668
,由5k2≤668,得,k≤11
当k=12时,5k2-2k=696>668.
所以,此时有11个满足题意的正整数n使1+5n是完全平方数;
②当m-1=5k时,n=
m2−1
5
=5k2+2k

又5k2-2k<5k2+2k,且当k=11时5k2+2k=627<668,
所以,此时有11个满足题意的正整数n使1+5n是完全平方数.
因此,满足1+3n≤2007且使1+5n使完全平方数的正整数n共有22个.
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