函数的定义域为R，关于原点对称，
则f（-x）=2^-x+a⋅2^x，
若为奇函数，则f（-x）+f（x）=0，
即有（a+1）（2^x+2^-x）=0，解得，a=-1；
若为偶函数，则f（-x）-f（x）=0，
即有（a-1）（2^x-2^-x）=0，解得a=1；
若a≠1，且a≠-1，则有f（-x）≠f（x），且≠-f（x），即既不是奇函数，也不是偶函数；
若既是奇函数，也是偶函数，则为f（x）=0，不可能，故B错．
故选B．