（1）证明：如图1,
在△ABC中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,
∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．
∵AC：AB=1：2,∴AB=2AC,
∵点E为AB的中点,∴AB=2BE,
∴AC=BE．
在△ACD与△BEF中,
,
∴△ACD≌△BEF,
∴CD=EF,即EF=CD；
如图2,作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,
∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,
∴四边形EQDH是矩形,
∴∠QEH=90°,
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG,
又∵∠EQF=∠EHG=90°,
∴△EFQ∽△EGH,
∴EF：EG=EQ：EH．
∵AC：AB=1：,∠CAB=90°,
∴∠B=30°．
在△BEQ中,∵∠BQE=90°,
∴sin∠B==,
∴EQ=BE．
在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,
∴cos∠AEH==,
∴EH=AE．
∵点E为AB的中点,∴BE=AE,
∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．