已知f(x)是任意一个函数,且定义域在x轴上关于原点对称（1）判断下列函数的奇偶性F(x)=1/2【f(x)+f(-x)】,G(x_数学解答

已知f(x)是任意一个函数,且定义域在x轴上关于原点对称
（1）判断下列函数的奇偶性
F(x)=1/2【f(x)+f(-x)】,G(x)=【f(x)-f(-x)】
（2）求证：f(x) 一定可以表示成一个奇函数和一个奇偶数的和

人气：461 ℃　时间：2019-10-19 21:59:45

解答

（1）F(x)=1/2【f(x)+f(-x)】,则F(-x)=(1/2)[f(-x)+f(x)]=F(x)∴ F(x)是偶函数G(x)=(1/2)【f(x)-f(-x)】是不是缺了1/2,但不影响最后结果则 G(-x)=(1/2)[f(-x)-f(x)]=-G(x)∴ G(x)是奇函数（2）利用（1）的结论即可...显然啊1/2【f(x)+f(-x)】+(1/2)【f(x)-f(-x)】=(1/2)f(x)+(1/2)f(-x)+(1/2)f(x)-(1/2)f(-x)=f(x)