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数学
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实变函数 依测度收敛
设{fn}在区间[a,b]依测度收敛于f g(x)在R上一直连续
证明{g(fn)}在[a,b]依测度收敛于{g(f)}
人气:125 ℃ 时间:2020-05-06 05:49:17
解答
因为{fn}在区间[a,b]依测度收敛于f ,{fn}的子列{fni}依测度收敛于f.由黎斯定理,存在子列{fni},使得i趋近无穷大时lim{fni}=f,几乎处处于[a,b].
由g(x)在R上一致连续,得i趋近无穷大时lim g(fni)=g(f),几乎处处于[a,b].
在区间[a,b]上,由可测集上的连续函数是可测函数,得知g(fni)是可测函数且g(fni)是有限的.
再由Lebesgue定理:直接得到g(fni)依测度收敛于g(f)
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