设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对所有的正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，求：数列{an}的通项_数学解答

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，且对所有的正整数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项，求：数列{a_n}的通项公式．

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解答

∵a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项，
∴

(an+2)＝

2Sn

，即Sn＝

(an+2)2． …（2分）
当n=1时，S1＝

(a1+2)2⇒a1＝2； …（3分）
当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝

[(an+2)2−(an−1+2)2]，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，…（5分）
又∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=4，
可知{a_n}是公差为4的等差数列． …（7分）
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2． …（8分）