设μ=ax²-x+3．
则原函数f（x）=log_a（ax²-x+3）是函数：y=log_aμ，μ=ax²-x+3的复合函数，
①当a＞1时，因μ=log_ax在（0，+∞）上是增函数，
根据复合函数的单调性，得
函数μ=ax²-x+3在[2，4]上是增函数，
∴

a×22-2+3＞0 1 2a ≤2

∴a＞1．
②当0＜a＜1时，因μ=log_ax在（0，+∞）上是减函数，
根据复合函数的单调性，得
函数μ=ax²-x+3在[2，4]上是减函数，
∴

a×42-4+3＞0 1 2a ≥4

∴

1

16

＜a≤

1

8

．
综上所述：a∈(

1

16

，

1

8

]∪(1，+∞)
故答案为：(

1

16

，

1

8

]∪(1，+∞)．