n个n维向量线性无关的证明
题目是这样的:
设a1,a2,...,an是n个n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任意一个n维向量都可以被它们线性表示.
必要性很好证,我已经证出来了
下面是我关于充分性的证明:
令b为任意一个n维向量,那么存在不全为0的数k1,k2,...,kn使得k1*a1+k2*a2+...+kn*an=b (1)
假设a1,a2,...,an线性相关,那么存在不全为0的数p1,p2,...,pn使得p1*a1+p2*a2+...+pn*an=0 (2)
用(1)-(2)得到
(k1-p1)*a1+(k2-p2)*a2+.+(kn-pn)*an=b (3)
因此只有当p1,p2,.,pn全为0时,等式(3)成立,这与假设相矛盾,即证得充分性
我不知道我这样的证明合理不~有没有更好的更简单的证明,我总觉得我这个证明看起来挺不舒服的