由_an＝

an−1

an−1+2

(n≥2)，得
a_na_n-1+2a_n=a_n-1，
即1+

2

an−1

＝

1

an

，
∴

1

an

+1＝2(

1

an−1

+1)（n≥2），
∴数列{

1

an

+1}构成以

1

a1

+1＝2为首项，以2为公比的等比数列．
则

1

an

+1＝2n，
an＝

1

2n−1

．
由a_k＞

1

2009

，得

1

2k−1

＞

1

2009

，
即2^k＜2010．
∵k为正整数，
∴k的最大值为10．
故选：D．