请教三角形的几个己和恒等式的证明
设I,O分别是三角形ABC的内心与外心,p为半周长,a、b、c为边长,以下三个己和恒等式是怎么来的:
AI=√[bc(p-a)/p],
∠IAO=｜B-C｜/2,
cos[(B-C)/2]=(b+c)*√[(p-b)*(p-c)/(a^2*bc)].
这些恒等式我是在网友回答问题时看到的，网友回答问题时的原文如下：
设三角形的外心为O,内心为I,外接圆半径为R，内切圆半径为r，请教欧拉公式OI^2=R(R-2r)的证明方法。
证明 设S,p是三角形ABC的面积与半周长，a,b,c是三角形ABC的三边长。根据三角形己知恒等式:
AI=√[bc(p-a)/p],AO=R,∠IAO=｜B-C｜/2，abc=4R*S=4R*p*r
cos[(B-C)/2]=(b+c)*√[(p-b)*(p-c)/(a^2*bc)]
在三角形AIO中，据余弦定理得:
IO^2=R^2+bc(p-a)/p-2R*√[bc(p-a)/p]*cos[(B-C)/2]
IO^2=R^2+bc(p-a)/p-2R*S(b+c)/(p*a)
IO^2=R^2+bc(p-a)/p-bc*(b+c)/(2p)
IO^2=R^2-abc/(2p)=R^2-2Rr=R*(R-2r)
证毕。