已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,直线x+y=1被椭圆截得的弦AB的长为2根号2,且AB的中点与原点连线的斜率为(根号2)/2,求椭圆方程
人气:402 ℃ 时间:2019-09-10 09:05:48
解答
椭圆ax²+by²=1与直线X+Y-1=0相交于AB两点,C是AB中点,若|AB|=2√2,0为原点,OC斜率为√2/2 ,求a,b.
【解】设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,y0)
联立:ax²+by²=1与x+y-1=0得
(a+b)x²-2bx+b-1=0
由韦达定理得:x1+x2=2b/(a+b),x1•x2=(b-1)/(a+b).
|AB|=√2•√[2b/(a+b)]²-[4(b-1)/(a+b)]=2√2
整理得:a²+b²+3ab-a-b=0……①
又x0=(x1+x2)/2,即x0=b/(a+b)
y0=(y1+y2)/2=(-x1+1-x2+1)/2 即y0=a/(a+b)
OC斜率为√2/2 ,则y0/x0=a/b=√2/2…… ②
联立①②解得:a=1/3,b=√2/3.
椭圆方程:x^2/3+y^2/(9/2)=1
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