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⊙O中,AB为直径,CD平分∠ACB交⊙O于D,求证:
CA+CB
CD
2

人气:450 ℃ 时间:2019-11-10 06:51:27
解答
证明:过A作AM⊥CD,过B作BN⊥CD,垂足分别为M、N,
∵AB为直径,CD平分∠ACB交⊙O于D,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形,AD=BD,
在Rt△ACM中,CM=
2
2
AC,在Rt△BCN中,CN=
2
2
BC,
∴CM+CN=
2
2
(AC+BC),
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADM+∠BDN=90°,
又∵∠BDN+∠DBN=90°,
∴∠ADM=∠DBN,
在△ADM与△BDN中,
∠ADM=∠DBN
∠AMD=∠DNB=90°
AD=BD

∴△ADM≌△BDN(AAS),
∴DN=AM,
又∵AM=CM(等腰直角三角形两直角边相等),
∴CM=DN,
∴CD=CN+DN=CN+CM=
2
2
(AC+BC),
AC+BC
CD
=
2
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