微分方程y''-3y'+2y=xe^x对应的齐次微分方程为y''-3y'+2y=0
特征方程为t²-3t+2=0
解得t₁=1，t₂=2
故齐次微分方程对应的通解y＝C1ex+C2e2x
因此，微分方程y''-3y'+2y=xe^x对应的非齐次微分方程的特解可设为y^*=x（ax+b）e^x=（ax²+bx）e^x
y^*'=[ax²+（2a+b）x+b]e^x
y^*''=[ax²+（4a+b）x+（2a+2b）]e^x
将y^*，y^*'，y^*''代入微分方程y''-3y'+2y=xe^x消去e^x即可得到：
[ax²+（4a+b）x+（2a+2b）]-3[ax²+（2a+b）x+b]+2（ax²+bx）=x
-2ax+2a-b=x

−2a＝1 2a+b＝0

a＝− 1 2 b＝1

所以，非齐次微分方程的特解为y*＝(−

1

2

x2+x)ex
由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
所以，微分方程y''-3y'+2y=xe^x的通解为y+y*＝(−

1

2

x2+x+C1)ex+C2e2x．