设定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且满足f(1)=1,求f(x)的表达式答案_数学解答

设定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且满足f(1)=1,求f(x)的表达式
答案是f(x)=2x²-1
但我是这样算的取x+y=1,则y=1-x,∵f(1)=1,∴f(x+y)=f(x)+2(1-x)×1=1.
∴f(x)=2x-1
我觉得挺有道理的呀但为什么是错的?

人气：241 ℃　时间：2019-08-20 12:57:23

解答

本身题目就有问题.
应该说没有函数能满足题目条件.这题我无语了这个不是你错不错的问题，而是题目本身就是错的。根据题目条件能导出矛盾：题目说那个式子对于任意x、y均成立。f(x+y)=f(x)+2y(x+y)x=0，y=1：f(1)=f(0)+2.f(0)=-1.x=1，y=-1：f(0)=f(1). f(0)=1.此外，答案给的函数也不满足要求：f(x+y)=2(x+y)^2-1=2x^2+4xy+2y^2-1.f(x)+2y(x+y)=2x^2+2xy+2y^2-1.它们之间差了2xy.