甲乙两同学对关于变量xy 的抛物线f Y=x的平方-2mx+2m的平方+2m
甲、乙两同学对关于y、x的抛物线f：y=x2-2mx+2m2+2m进行探讨交流时,各得出一个结论．
甲同学：当抛物线f经过原点时,顶点在第三象限平分线所在的直线上；
乙同学：不论m取什么实数值,抛物线f顶点一定不在第四象限．
（1）请你求出抛物线f经过原点时m的值及顶点坐标,并说明甲同学的结论是否正确?
（2）乙同学的结论正确吗?若你认为正确,请求出当实数m变化时,抛物线f顶点的纵横坐标之间的函数关系式,并说明顶点不在第四象限的理由；若你认为不正确,求出抛物线f顶点在第四象限时,m的取值范围．