∵1×2=

1

3

×（1×2×3-0×1×2）
2×3=

1

3

×（2×3×4-1×2×3），
3×4=

1

3

×（3×4×5-2×3×4），
…，
∴n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
∴3×[1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）]
=3×

1

3

[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=n（n+1）（n+2）．
故答案为：n（n+1）（n+2）．