f(x,y,z)=0和g(x,y,z)=0联立消去z得H(x,y)=0,为什么满足方程组的解都满足H(x,y)=0呢?
人气:409 ℃ 时间:2020-10-01 21:31:54
解答
你没有理解联立消去Z的含义,联立消去Z即f(x,y,z)=0和g(x,y,z)=0 同时解出Z的表达式时,可以得到只含有X,Y的表达式,那么满足方程组的解时(即有相同的Z值时)肯定要满足你得到的只含有X,Y的表达式啊?你联立消去Z的过程可以表示如下,从f(x,y,z)=0 =》 Z=Z1(X,Y),从g(x,y,z)=0 =》 z=Z2(X,Y)=0 ,令H(x,y)=Z1(X,Y)-Z2(X,Y)=0 ,即可.(注意有时Z是不容易或不能直接表示成X,Y的函数的,即不容易显化,称之为隐函数的问题.如f:e^xyz-z^y=0 g:x^2+y^2+z^2-4z=0 )
事实上,f(x,y,z)=0 表示三维空间的一张曲面,g(x,y,z)=0表示三维空间的另一张曲面,两者有交集时,假设相交成一条曲线,该曲线向X\Y 平面投影,投影曲线就满足上述的H(x,y)=0.即该投影曲线为H(x,y)=0,Z=0 .
举个简单的例子:
f(x,y,z)=X^2+Y^2-1=0 ,是一个柱面.
g(x,y,z)=Z=0 是一个平面,即X\Y 坐标面.
相交的曲线(满足方程组f g 的解) 即平面截柱面,为一圆,就是X^2+Y^2-1=0,Z=0.
请注意满足H(x,y)=0不一定满足原方程组.H(x,y)是柱面.
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