（1）∵AB⊥MN，AC⊥AP，
∴∠ABP=∠CAP=90°．
又∵∠ACP=∠BAP，
∴△ABP∽△CAP．（1分）
∴

BP

AP

＝

AP

PC

．
即

x

x2+16

＝

x2+16

y

．（1分）
∴所求的函数解析式为y＝

x2+16

x

（x＞0）．（1分）
（2）CD的长不会发生变化．（1分）
延长CA交直线MN于点E．（1分）
∵AC⊥AP，
∴∠PAE=∠PAC=90°．
∵∠ACP=∠BAP，
∴∠APC=∠APE．
∴∠AEP=∠ACP．
∴PE=PC．
∴AE=AC．（1分）
∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD．
∴

AB

CD

＝

AE

CE

＝

1

2

．（1分）
∵AB=4，
∴CD=8．（1分）
（3）∵圆C与直线MN相切，
∴圆C的半径为8．（1分）
（i）当圆C与圆P外切时，CP=PB+CD，即y=x+8，
∴

x2+16

x

＝x+8，
∴x=2，（1分）
∴BP=2，
∴CP=y=2+8=10，
根据勾股定理得PD=6
∴BP：PD=

1

3

．（1分）
（ii）当圆C与圆P内切时，CP=|PB-CD|，即y=|x-8|，
∴

x2+16

x

＝|x−8|．
∴

x2+16

x

＝x−8或

x2+16

x

＝8−x．
∴x=-2（不合题意，舍去）或无实数解．（1分）
∴综上所述BP：PD=

1

3

．