抽象代数,有限群,阿贝尔群
G 是一个有限的阿贝尔群,阶数为n.对于所有n的除数m,$x^m=e$ 最多只有m个解.证明G是一个循环群.【提示：以$\psi (m)$ 表示所有阶数为m的元素个数,$\phi (m)$为欧拉方程,先证明$\psi (m)\leq \phi (m)$,然后利用$n=\Sigma_{m|n}\phi(m)$证得命题】本人已证明$\Sigma_{d|n}\psi(d)-\phi(d)=0$.因而只要证得$\forall m|n,\psi (m)\leq \phi (m)$,则$\forall d|n,\psi(d)=\phi(d)$,因而$\psi(n)=\phi(n)\neq 0$,则G至少拥有一个生成元,G唯一循环群.本人暂不能证明$\psi (m)\leq \phi (m)$,然而得出了于此似乎矛盾的结论：令$\psi (m)\neq 0,m\neq 1$,则 存在$a\in G,|a|=m$.审查其生成的循环群：对任意$a^i\in $,$a^i$ 为 $$ 的生成元当且仅当$i$ 与 $m$ 互质.因而在$$当中应有$\phi (m)$ 个阶数为$m$ 的元素.而在循环群$$之外可能有某些元素结束同样为$m$ 因而$\psi (m)\geq \phi (m)$.
百度知道生成不了 Latex,用mathtype应该可以的,复制粘贴到软件剪切板就可以了