只需证明1+1/根号2^3+1/根号3^3+.+1/根号k^3≤3-2/根号k
用数学归纳法:k=1时,左=1,右=1,成立,
设k=n时原不等式成立,则k=n+1时,左=1+1/根号2^3+1/根号3^3+.+1/根号n^3+1/根号(n+1)^3
≤3-2/根号n+1/根号(n+1)^3
下证-2/根号n+1/根号(n+1)^3≤-2/根号(n+1)
而2/根号n-2/根号(n+1)=2[根号(n+1)-根号n]/根号n(n+1)=2/[根号(n+1)+根号n]根号n(n+1)
≤2/2根号(n+1)^3=1/根号(n+1)^3
所以n=k+1时,左=1+1/根号2^3+1/根号3^3+.+1/根号n^3+1/根号(n+1)^3
≤3-2/根号n+1/根号(n+1)^3≤3-2/根号(n+1),所以k=n+1时成立
综上,有1+1/根号2^3+1/根号3^3+.+1/根号k^3≤3-2/根号k
而3-2/根号k<3恒成立(k∈Z),所以
1+1/根号2^3+1/根号3^3+.+1/根号n^3<32/[根号(n+1)+根号n]根号n(n+1)≤2/2根号(n+1)^3??额,不好意思,是≥根号(n+1)+根号n≤2根号(n+1)根号n≤根号(n+1)根号(n+1)≤根号(n+1)3个式子相乘有[根号(n+1)+根号n]根号n(n+1)≤2根号(n+1)^3所以2/[根号(n+1)+根号n]根号n(n+1)≥2/2根号(n+1)^3