已知函数f(x)=lg(ax)·lg(x/a^3)
(1)当x∈[1,10]时,求f(x)的最小值g(a);
(2)在(1)的条件下,若g(a)=0,求实数a的值;
(3)若关于x的方程f(x)+3=0的所有解都大于100,求实数a的取值范围.
人气:371 ℃ 时间:2020-05-11 13:31:49
解答
(1)f(x)=lg(ax)•lg(x/a^3) 在区间[1,10]上连续,因此可导,f(x)′=lg(x^2/a^2)/(xln10),函数的 驻点满足f(x)′,即x=a(a∈[1,10],a负数函数无 意义),f(x)的最小值为 -4lg^2(±a).
(2)由-4lg^2(±a)=0,a=1(a=-1无意义).
(3)x的方程f(x)+3=0的所有解都大于100,此范围内 f(x)+3为增函数 ,即lg(ax)•lg(x/a^3)+3>lg(100a)•lg(100/a^3)+3=(lga-1)(-lga-7),又满足f(x)+3=0,则(lga-1)(-lga-7)>0,解此不等式得,10<a<10^(7/3).
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