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数学
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斜率为1的直线与抛物线y
2
=2x交于不同两点A、B,求线段AB中点M的轨迹方程.
.
人气:311 ℃ 时间:2019-10-23 07:42:31
解答
设M的坐标为(x,y),斜率为1的直线方程为y=x+m,且A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),
由
y=x+m
y
2
=2x
消去y,得x
2
+(2m-2)x+m
2
=0,…(2分)
根据一元二次方程根与系数的关系,得
x
1
+
x
2
=2−2m
x
1
x
2
=
m
2
…(6分)
∵点M是线段AB的中点,
∴
x=
x
1
+
x
2
2
=1−m
,y=x+m=1,…(8分)
∵直线与抛物线有两个不同交点,
∴△=(2m-2)
2
-4m
2
>0,解之得
m<
1
2
,
结合x=1-m可得M横坐标的范围是(
1
2
,+∞),…(9分)
因此,线段AB中点M的轨迹方程为:
y=1(x∈(
1
2
,+∞))
.…(10分)
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