证明：如图，延长AQ交BC的延长线于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，AD∥BE；
∵Q是CD的中点，
∴△ADQ与△ECQ关于点Q成中心对称，
∴AD=CE，∠1=∠E；
∵AP=PC+CD，
∴AP=PC+CE，
∴∠2=∠E，
∴∠1=∠2．
即AQ平分∠DAP．