高一向量的数乘已知A,B,C是平面上的三点,O是平面上任意一点,向量OC＝m向量OA＋n向量OB 证明：（1）若A,B,C三点在同_数学解答

高一向量的数乘
已知A,B,C是平面上的三点,O是平面上任意一点,向量OC＝m向量OA＋n向量OB
证明：
（1）若A,B,C三点在同一条直线上,则m+n=1
（2）若m+n=1,则A,B,C三点在同一条直线上

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解答

证明：(1)为了方便,向量二字我省略了.
因为A,B,C三点在同一条直线上,所以设BC=xAB
OC=OA+AC=OA+(1+x）AB=OA+(1+x)(OB-OA)=(1+x)OB-xOA
令-x=m,1+x=n,则m+n=1
(2)由OC＝mOA＋nOB,得OC-OA=（m-1）OA+nOB
即AC=-nOA +nOB=nAB
所以A,B,C三点在同一条直线上