证明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取AC的中点P，连接MP，A₁P，
∵M、N分别是BC和A₁B₁的中点，
∴MP

∥

.

1

2

AB，A₁N

∥

.

1

2

AB，
∴MP

∥

.

A1N
∴四边形A₁PMN为平行四边形，
∴MN∥A₁P，
又∵A₁P⊂平面AA₁C₁，MN⊄平面AA₁C₁，
∴MN∥平面AA₁C₁．