函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1).f(x2),求证f(x)为偶函_数学解答

函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1).f(x2),求证f(x)为偶函数

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解答

取-X和X作x1,x2
得f(X-X)+F(X+X)=2F(X).F(-X)
-->F(0)+F(2X)=2F(X).F(-X) （1）
再把x1,x2调换一下
得F(-2X)+F(-X+X)=2F(X).F(-X)
-->F(-2X)+F(0)=2F(X).F(-X) （2）
由（1）（2）得F(-2X)=F(2X)
所以f(x)为偶函数