PQ为过抛物线焦点F的弦,作PQ的垂直平分线交抛物线对称轴于R点,求证|FR|=1/2|PQ|
人气:431 ℃ 时间:2019-10-10 06:04:46
解答
我们仅举y²=2px的情形,此处p>0
焦点F(p/2,0)
设PQ方程:x=my+p/2
代入抛物线y²=2px
y²-2pmy-p²=0
韦达定理:y1+y2=2pm,y1×y2=-p²
x1+x2=y1²/2p+y2²/2p=(y1²+y2²)/2p=[(y1+y2)²-2y1y2]/2p=(4p²m²+2p²)/2p=2pm²+p
所以PQ中点坐标(pm²+p/2,pm)
弦长公式:|PQ|=√(1+m²)[(y1+y2)²-4y1y2]=√(1+m²)(4p²m²+4p²)=2p(1+m²)
与直线PQ垂直的直线斜率为-m
所以PQ的垂直平分线的方程:y-pm=-m(x-pm²-p/2)
令y=0,则x=pm²+3p/2
|FR|=pm²+3p/2-p/2=pm²+p=p(1+m²)
由此1/2|PQ|=|FR|
推荐
- 过抛物线焦点F的直线交抛物线于P,Q两点,弦PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R,求证:丨FR丨=1/2丨PQ丨
- 已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ,且PQ的中点在抛物线的准线上的射影为R,则∠PRQ的弧度 ( ) A.大于π/2 B.等于π/2 C.小于π/2 D.无法确定
- 设MN与PQ是经过抛物线焦点的两条互相垂直的弦,它们的长度分别是a和b,求证:1/a+1/b是常量
- 过抛物线y2=2px的焦点F作弦PQ,则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
- 抛物线y^2=2px的准线与对称轴交于s,pQ为过抛物线的焦点F且与对称轴垂直的弦,则角PSQ的大小
- To suggest that the student did not do the reading
- -lg5 -lg7 怎么化成1\5 1\7
- at ease,be likely to,in general,lose face,defend aganist,turn one's back to用五句话编一个故事
猜你喜欢