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数学
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已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
=pn
2
+qn.
(1)当p,q满足什么条件时,数列{a
n
}是等差数列;
(2)求证:对任意实数p、q,数列{a
n+1
-a
n
}是等差数列.
人气:135 ℃ 时间:2020-01-26 05:52:15
解答
(1)∵a
n
=pn
2
+qn.
∴若数列{a
n
}是等差数列;
则当n>1时,a
n
-a
n-1
=pn
2
+qn-[p(n-1)
2
+q(n-1)]=2pn+q-p为常数,
∴必有p=0,
即当p=0,数列{a
n
}是等差数列;
(2)∵a
n
=pn
2
+qn.
∴当n>1时,a
n
-a
n-1
=pn
2
+qn-[p(n-1)
2
+q(n-1)]=2pn+q-p,
即a
n+1
-a
n
=2p(n+1)+q-p,
∴(a
n+1
-a
n
)-(a
n
-a
n-1
)=2p为常数,
即对任意实数p、q,数列{a
n+1
-a
n
}是等差数列.
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