过A点作直径AD，连接DC，如图，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
又∵∠ADC=∠ABC=45°，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴AD=

2

AC，
而AC=1，
∴AD=

2

，
所以⊙O的半径为

2

2

．