如图,抛物线y=2ax+bx+5/2过点a(-1,0)b(5,0)直线y=x+1交抛物线的对称轴
点m点p为线段am上一点过点p做做pk//y轴交抛物线于点q过点p做pn//qm交抛物线的对称轴于点n设点点p的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式.(2)用含m的代数式表示pq的长并求pq的最大值.(3)直接写出pq随m的增大而减小时m的取值范围.(4)
人气:329 ℃ 时间:2020-10-01 22:49:12
解答
如图,抛物线y=ax²+bx-5/2过点A(-1,0)、B(5,0).直线y=-x-1交抛物线的对称轴于点M,点P为线段AM上一点,过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q,过点P作PN∥QM交抛物线的对称轴于点N,设点P的横坐标为m.
(1)求a、b的值.
(2)用含m的代数式表示PQ的长并求PQ的最大值.
(3)直接写出PQ随m的增大而减小时m的取值范围.
(4)当四边形PQMN是正方形时,求出m的值.
(是这题吗?)
(1)把A(-1,0),B(5,0)代入y=ax²+bx-5/2中,得
0=(−1)2a+(−1)b−5/2 ①
0=25a+5b−5/2 ②,
解①,②得:
a=½
b=−2
,
∴a=½ ,b=-2;
(2)由(1)可知a=½ ,b=-2,
∴抛物线的解析式为y=½x²-2x-5/2,
∴抛物线的对称轴为x=2,
∵点P的横坐标为m,
∴P的坐标为(m,-m-1),(-1≤m≤2),
∵PQ∥y轴,
∴点Q横坐标为m,
∴Q点的坐标为(m,½ m²-2m-5/2),
∴PQ=-m-1-(½ m²-2m-5/2 )=-½m²+m+3/2
=-½(m-1)²+2,
∴当m=1时,PQ的最大值为2;
(3)由(2)可知PQ=-m-1-(½ m²-2m-5/2 )=-½m²+m+3/2=-½(m-1)²+2,
∴PQ随m的增大而减小时m的取值范围是1≤m≤2;
(4)设MN于x轴的 交点为G,则G的坐标为(2,0),
∵M(2,-3),
∴MG=3,AG=3,
∴MG=AG,
∴∠BAM=∠AMG=45°,
∵PQ∥y轴,MN是对称轴,
∴PQ∥MN,
有∵PN∥QM,
∴四边形PQMN是平行四边形,
当PN⊥MN,四边形PQMN是矩形,又∵∠BAM=45°,
∴四边形PQMN是正方形,
∴Q点的纵坐标是-3,即
½ m²-2m-5/2 =-3,
解得:m₁=2-√3,m₂=2+√3(不合题意舍去),
∴m的值是2-√3
.
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