①由余弦定理cos60°＝

a2+c2−b2

2ac

⇒

a2+c2−b2

2ac

＝

1

2

⇒a2+c2−ac＝ac
∴（a-c）²=0，∴a=c．由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形．
②由b2tanA＝a2tanB⇒

b2sinA

cosA

=

a2sinB

cosB

⇒

sinBcosA

sinAcosB

＝

b2

a2

＝

sin2B

sin2A

∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴A=B或A+B=90°，
∴△ABC为等腰△或Rt△．
③∵sinC＝

sinA+sinB

cosA+cosB

，由正弦定理：c（cosA+cosB）=a+b，
再由余弦定理：c×

a2+b2−c2

2bc

+c×

a2+c2−b2

2ac

＝a+b
∴（a+b）（c²-a²-b²）=0，∴c²=a²+b²，∴△ABC为Rt△．
④∵（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B）．
∴（a²-b²）（sinAcosB+cosAsinB）=（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB）．
整理求得a²cosAsinB=b²sinAcosB，
即：

sinAcosB

cosAsinB

=

a2

b2

=

sin2A

sin2B

∴sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=

π

2

∵

a

sinA

=

b

sinB

=2R，
∴△ABC是等腰△或Rt△．