已知函数f(x)=ln(x+a)-x^2-x在x=0处取得极值.
⑴求实数a的值;⑵证明:对任意的正整数n,不等式2+3/4+4/9+┄+(n+1)/n^2>ln(n+1)都成立.注:x^2表示x的平方
人气:434 ℃ 时间:2019-08-17 18:22:32
解答
f(x)=ln(x+a)-x^2-x 显然a>0
f'(x)=1/(x+a)-2x-1
∵f(x)在点x=0处取极值,
∴f'(0)=0,可得a=1
∴f(x)=ln(1+x)-x^2-x
f'(x)=-x(x+3)/(x+1)
当-1<x<0时f'(x)>0,当x>0时f'(x)<0,∴在点x=0处f(x)取极大值-2,当x>0时,ln(1+x)<x^2+x.
取x=1/n (n∈N*),可得(n+1)/(n^2)>ln[(n+1)/n],再取n=1,2,3,…,n,将所得的n个式子相加,就可得出所要证的式子.
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