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数学
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A是椭圆长轴的一个端点,O是椭圆的中心,若椭圆上存在一点P,使
∠OPA=
π
2
,则椭圆离心率的范围是______.
人气:460 ℃ 时间:2020-02-05 01:10:29
解答
设椭圆的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
,设 A (a,0),点P(acost,bsint).
由题意得,
PO
•
PA
=0,∴(-acost,-bsint)•(a-acost,-bsint)=0,
∴(-acost )•(a-acost )+b
2
sin
2
t=0,化简可得 c
2
cos
2
t-a
2
cost+a
2
-c
2
=0,
∴e
2
cos
2
t-cost+1-e
2
=0,∴e
2
=
1
1+cost
.
又∵0<e<1,0<1+cost<2,∴
1
2
<e
2
<1,∴
2
2
<e<1,
故答案为
2
2
<
c
a
<1.
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