函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数x,都有f(x+1)=f(x-1)成立,已知当x属于【1,2】时
f(x)=log以a为底x的对数
(1)求x∈【-1,1】时,函数f(x)的表达式
(2)求x∈【2k-1,2k+1】(k∈Z)时,函数f(x)的解析式
(3)若函数f(x)的最大值为(1/2),在区间【-1,3】上,解关于x的不等式f(x)>(1/4)
人气:354 ℃ 时间:2019-10-19 21:38:39
解答
对任意实数x,都有f(x+1)=f(x-1),
∴f(x+2)=f(x),
∴2是f(x)的周期.
x∈[1,2]时f(x)=logx,
(1)x∈[-1,0]时x+2∈[1,2],
f(x)=f(x+2)=log(x+2)=log(2-|x|),
y=f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(x)=f(-x)=f(|x|),
∴x∈[-1,1]时f(x)=log(2-|x|).
(2)x∈[2k-1,2k+1],k∈Z时x-2k∈[-1,1],
f(x)=f(x-2k)=log(2-|x-2k|).
(3)f(x)的最大值为1/2,
∴log2=1/2,
∴a^(1/2)=2,a=4.
在区间[-1,3]上,关于x的不等式f(x)>1/4=f(√2),
化为x∈[-1,1],2-|x|>√2;或x-2∈[-1,1],2-|x-2|>√2,
解得-(2-√2)
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