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数学
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F
1
,F
2
是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任意一点,从任一焦点引∠F
1
PF
2
的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为( )
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
人气:322 ℃ 时间:2019-08-20 13:22:02
解答
由题意,延长F
2
P,与F
1
Q的延长线交于M点,连接QO,
∵MP是∠F
1
MB的平分线,且PQ⊥MF
1
∴△F
1
MP中,|PF
1
|=|PM|且Q为MF
1
的中点
由三角形中位线定理,得|OQ|=
1
2
|MF
2
|=
1
2
(|MP|+|PF
2
|)
∵由椭圆的定义,得|PF
1
|+|PF
2
|=2a,(2a是椭圆的长轴)
可得|MP|+|PF
2
|=2a,
∴|OQ|=
1
2
(|MP|+|PF
2
|)=a,可得动点Q的轨迹方程为x
2
+y
2
=a
2
∴点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆.
故选A.
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